На
проведение всей работы отводится 120 минут.
Арифметика
1. Натуральные числа Десятичная система счисления. Римская нумерация.
Арифметические действия над натуральными числами. Свойства арифметических
действий. Степень с
натуральным показателем, вычисление
значений выражений, содержащих степени. Делимость натуральных чисел. Признаки
делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального
числа на простые множители. Наибольший общий делитель
и наименьшее общее кратное. Деление с остатком.
1.2 Дроби. Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Сравнение
дробей. Нахождение части (дроби) числа и числа по его части (дроби). Десятичные
дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными
дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной
дроби в виде десятичной.
3 Рациональные числа. Положительные и отрицательные числа, нуль. Модуль
числа, геометрический смысл модуля. Сравнение рациональных чисел.
Арифметические действия
с положительными и
отрицательными числами. Свойства арифметических
действий. Степень с целым показателем. Числовые выражения,
порядок действий в них,
использование скобок.
4 Действительные числа. Квадратный
корень
из
числа. Нахождение
приближенного значения
корня с помощью
калькулятора. Корень третьей степени. Понятие об иррациональном числе.
Десятичные приближения иррациональных чисел.
1.4.4
Действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
Сравнение действительных чисел.
5 Текстовые задачи Решение текстовых задач арифметическими приемами.
6 Измерения, приближения, проценты. Единицы измерения длины, площади, объема, массы,
времени, скорости. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире.
Представление зависимости между величинами в виде формул.
Проценты. Нахождение процента
от величины и величины по ее проценту. Отношение,
выражение отношения в процентах. Пропорция. Основное свойство пропорции.
Пропорциональная и
обратно пропорциональная зависимости. Округление натуральных
чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка результатов вычислений.
Запись приближенных значений в виде х = а ±
h, переход к записи в виде двойного неравенства. Запись чисел в стандартном
виде.
2Алгебра
1 Алгебраические выражения. Буквенные выражения. Числовое значение буквенного
выражения. Допустимые
значения переменных, входящих в алгебраические
выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство
буквенных выражений. Тождество, доказательство
тождеств. Преобразования алгебраических выражений.
Свойства степеней
с целым
показателем, преобразование выражений,
содержащих степени с целым показателем.
Многочлены. Многочлены с
одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена.
Сложение, вычитание и
умножение многочленов, формулы сокращенного умножения: квадрат
суммы и квадрат разности, формула разности квадратов. Разложение многочлена на
множители. Квадратный трехчлен. Теорема
Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Алгебраические дроби. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.
Рациональные выражения и их преобразования. Свойства
квадратных корней и их
применение в вычислениях.
2.Уравнения и неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.
Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула
корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры
решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на
множители. Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными.
Система уравнений; решение системы. Система
двух линейных
уравнений с двумя переменными;
решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими
переменными. Примеры решения нелинейных систем. Неравенство с одной переменной.
Решение неравенств. Линейные неравенства с
одной переменной и их системы. Квадратные
неравенства с одной переменной. Числовые неравенства и их свойства. Переход
от словесной формулировки соотношений между
величинами к алгебраической. Решение текстовых задач алгебраическим способом.
3 Числовые последовательности. Понятие
последовательности. Арифметическая
и геометрическая
прогрессии. Формулы общего
члена
арифметической и геометрической прогрессий и
суммы n первых членов арифметической и геометрической. Сложные
проценты. Числовые функции. Функция.
Способы задания
функций. Область определения и область значений
функции. График функции, возрастание, убывание функции, нули функции,
сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значения. Чтение
графиков функций. Функции,
описывающие прямую
и обратную пропорциональную зависимости, их
графики. Линейная функция,
ее свойства
и график, геометрический смысл коэффициентов.
Гипербола. Квадратичная функция, ее
свойства; парабола, ось симметрии параболы, координаты
вершины параболы. Графики
функций: корень
квадратный, корень кубический, модуль.
Использование графиков
функций для решения уравнений и систем.
Примеры графических
зависимостей, отражающих реальные процессы.
5.Координаты. Изображение чисел точками координатной прямой.
Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.
Декартовы координаты на
плоскости; координаты точки.
Координаты середины
отрезка. Формула расстояния между двумя точками
плоскости. Уравнение прямой, угловой
коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение
окружности с центром в начале координат.
Графическая
интерпретация решения
системы уравнений с двумя переменными.
Геометрия
1 Начальные понятия и теоремы геометрии. Геометрические фигуры
и тела. Точка, прямая и
плоскость. Равенство в геометрии. Понятие о геометрическом месте точек.
Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы.
Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства. Параллельные и
пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.
Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к
прямой. Наглядные представления о пространственных телах: кубе,
параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры
сечений. Примеры разверток.
2. Треугольник Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные
треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника.
Равнобедренные и
равносторонние треугольники; свойства и признаки
равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство
треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость
между величинами сторон
и углов треугольника. Теорема Фалеса.
Подобие треугольников;
коэффициент подобия. Признаки подобия
треугольников. Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного
треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение
прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы,
связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема
косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов
треугольника. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных
перпендикуляров, биссектрис, медиан.
3.Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник,
квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция,
средняя линия трапеции; равнобедренная
трапеция.
4. Многоуголъники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Вписанные и описанные многоугольники.
Правильные
многоугольники.
5. Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дута, хорда. Сектор, сегмент.
Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла.
Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная
и секущая к
окружности; равенство касательных, проведенных из одной
точки. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около
треугольника. Вписанные и описанные
окружности правильного многоугольника.
6. Измерение геометрических величин. Длина
отрезка.
Длина
ломаной, периметр многоугольника.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число я; длина
дуги. Величина угла. Градусная
мера угла, соответствие между величиной угла и длиной
дуги окружности. Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и
равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма,
треугольника и
трапеции (основные формулы).
Формулы, выражающие площадь треугольника через две стороны и угол
между ними. Площадь круга и площадь сектора. Связь между площадями подобных
фигур. Объем тела.
Формулы объема прямоугольного
параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса.
